Calculer une longueur avec un angle

Q: Comment calculer une longueur avec un angle ?

On connaît RT, le côté opposé à langle hat{S}, et on veut calculer la longueur RS du côté adjacent. On va donc utiliser la tangente|tangente de langle. tan hat{S} = frac{RT}{RS} ; doù RS = 6 (arrondi à lunité). On connaît le côté opposé à langle hat{S} et on cherche le côté adjacent.

Q: Comment calculer un côté dun triangle rectangle avec 1 mesure ?

Théorème de Pythagore: Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de lhypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés. Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur dun côté dun triangle rectangle, à condition de connaitre la longueur des 2 autres côtés.

Objectifs

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Les lignes et les relations trigonométriques dans un triangle rectangle
Calcul de l'angle
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Comment calculer une longueur avec un angle ?
Comment calculer un côté d'un triangle rectangle avec 1 mesure ?

Dans un triangle rectangle, il existe une relation entre la mesure d’un angle et les côtés de ce triangle.
Comment calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle connaissant la longueur de l’hypoténuse et la mesure de l’un des angles non droits? Comment calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle connaissant la longueur de l’hypoténuse et d’un autre côté de l’angle droit ?

1. Vocabulaire

Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse de ce triangle est le côté [BC].
On appelle côté opposé à l’angle

le côté [AC]; le côté adjacent à l’angle

est le côté qui forme l’angle

et qui n’est pas l’hypoténuse, soit [AB].

2. Cosinus d'un angle dans un triangle rectangle

a. Définition du cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle, noté « cos », est égal au rapport (quotient) de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l’hypoténuse.

Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A alors on a :

Remarque : l’hypoténuse étant le plus grand côté dans un triangle rectangle, le rapport

est toujours plus petit que 1.

Le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.

Intérêt : La formule du cosinus d’un angle dans un triangle rectangle permet de calculer soit la longueur d’un côté soit un des angles de ce triangle.

b. Exemples d'application

Exemple 1 : Calcul de la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle :

Dans un triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse [BC] mesure 6 cm, l’angle

a pour mesure 40°. Calculer la longueur du côté [AB].

Données : ABC est rectangle en A
Citation : Par définition du cosinus, on a :

Conclusion :

Par un « produit en croix », on obtient :

On obtiendra la valeur de grâce à la touche

de la calculatrice,

d’où :

Exemple 2 : Calcul de l’un des angles d’un triangle rectangle

Dans un triangle DEF rectangle en D, l’hypoténuse EF a pour mesure 6 cm. Le côté [DE] a pour mesure 2 cm. Déterminer en degré la mesure de l’angle

Données : DEF est un triangle rectangle en D.

Citation : Par définition du cosinus, on a :

:
Conclusion :

Pour déterminer la mesure de l’angle

, il faut utiliser la fonction « cosinus inverse » de la calculatrice, notée cos-1.
Elle s’obtient souvent en tapant sur les touches:

On a alors :

(résultat arrondi au dixième)

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Les lignes et les relations trigonométriques dans un triangle rectangle

Rappel sur les trois lignes d'un triangle rectangle :

l'hypoténuse.
le côté adjacent à l'angle.
le côté opposé à l'angle.

Rappel sur le cosinus, le sinus et la tangente qui s'utilisent dans les triangles rectangles.

Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, le cosinus de l'angle A est égal à la longueur du côté adjacent à l'angle A divisée par la longueur de l'hypoténuse, donc cos A = AB/AC.
Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle A est égal à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur de l'hypoténuse, donc sin A = BC/AC.
Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle A est égale à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur du côté adjacent à l'angle A, donc tan A = BC/BA.

Calcul de l'angle

Si l'angle du triangle rectangle varie, que se passe-t-il pour le calcul du cosinus, du sinus et de la tangente ? Il faut regarder la valeur des lignes trigonométriques en fonction de la taille de l'angle. On va donc faire évoluer la mesure de l'angle.

Réalisateur : Didier Fraisse

Producteur : France tv studio

Publié le 04/06/20

Modifié le 31/01/22

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Comment calculer une longueur avec un angle ?

On connaît RT, le côté opposé à l'angle \hat{S}, et on veut calculer la longueur RS du côté adjacent. On va donc utiliser la tangente|tangente de l'angle. tan \hat{S} = \frac{RT}{RS} ; d'où RS = 6 (arrondi à l'unité). On connaît le côté opposé à l'angle \hat{S} et on cherche le côté adjacent.

Comment calculer un côté d'un triangle rectangle avec 1 mesure ?

Théorème de Pythagore: "Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés". Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, à condition de connaitre la longueur des 2 autres côtés.